ウォリス積分①~C_n, S_n結果と具体例~

ウォリス積分C_n, S_n

非負整数全体から成る集合\bigl\{ \cdots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots \bigr\}  {\mathbb{N}}_0とする.

 n\in{\mathbb{N}}_0 に対して,

 C_n:= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\cos}^{n}(x) dx , S_n:= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\sin}^{n}(x) dx とおくと,

[tex: \begin{eqnarray}C_n=S_n=\left\{ \begin{array}{ll}
  \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot\ \frac{\pi}{2} & (n=0, 2, 4, \cdots ; nが偶数のとき) \\
  \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot\ 1 & (n=1,3,5, \cdots ; nが奇数のとき) \\
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
]

が成り立つ.

 但し, (-1)!!:=1, 0!!:=1 とする.

ウォリス積分の説明・解説

1.上の (-1)!!:=1, 0!!:=1 とする,としたのは、こうした方がウォリス積分の公式が成り立つnの範囲が広がって、公式の汎用性が増すので、ここではこのように定めた、という事です。

2.イギリスの数学者ジョン・ウォリスに因んで、ウォリス積分という名がこれらの定積分には付いています。また、この定積分の計算公式を、ウォリス(の)(定)積分公式とこのブログでは呼ぶ事にしましょう。実は、他にもウォリス積分と呼ばれるものがあるため、「ウォリス(定)積分(公式)のC_n(シー・エヌ)」とか「ウォリスのS_n(エス・エヌ)(積分)」とか呼ぶ事もあります。

3.ウォリス積分公式の利点として、大学受験程度の数学Ⅲの積分計算で、知っていると非常に計算を早く行えます。また、高等学校の学習指導要領の範囲内で、十分理解が可能で、(リーマン積分可能条件を認めてしまえば)高校範囲で証明が可能であるので、実際の入試に用いてもリスクが無い、非常に便利なものだということです。それでも、不安だ、或いは、塾・予備校・学校の先生方が非常に慎重であり、自分自身も便利な公式を安易に用いて答えを求める事に躊躇してしまうという方は、実際には答案には書かないで、通常の方法で計算した後に、検算としてウォリス積分公式を使って答えを出したものと比較確認を行ってはどうでしょうか。

また、

数学Ⅲの積分法の応用問題の定石・頻出・必出内容として、定積分型漸化式というものがありますが、その一例(基本的で典型的な練習問題)となっています。(これについては、ウォリス積分公式の証明を参照下さい。)

ウォリス積分公式の実際の使用例

例えば、次の様な定積分計算は、大学受験では頻出です。

1. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\cos}^{2}(x) dx

2. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\sin}^{3}(x) dx

これらを実際にウォリス積分公式を用いて計算してみましょう.

また、比較検討するために、通常の(多くの参考書・問題集、高等学校で学ぶ)方針での計算も示しておきます.

 まずは、通常の方針から.

 

倍角公式を用いる.奇数乗の場合には、1つだけ浮かせて、残りは、

相方の三角関数の累乗の形にする.

 

この方針で計算してみます.

1. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\cos}^{2}(x) dx 2倍角の公式(半角の公式)を利用します.

 =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos{(2x)}}{2} dx

 =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1+\cos{(2x)} dx

 =\frac{1}{2} \bigl[ x+\frac{1}{2} \sin{(2x)} \bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

 =\frac{1}{2} \bigl\{ (\frac{\pi}{2} - 0)+\frac{1}{2} ( \sin{(\pi)} -\sin{(0)} )\bigr\}

 =\frac{1}{2} \bigl\{ \frac{\pi}{2} +\frac{1}{2} ( 0 - 0 )\bigr\}

 =\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}

 =\frac{\pi}{4} .

2. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\sin}^{3}(x) dx 3倍角の公式を利用します.

  =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{3\sin{(x)}-\sin{(3x)}}{4} dx

 =\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3\sin{(x)}-\sin{(3x)} dx

 =\frac{1}{4} \bigl[ -3\cos{(x)}+\frac{\cos{(3x)}}{3} \bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

 =\frac{1}{4} \bigl\{ -3(\cos{(\frac{\pi}{2})}-\cos{(0)})+\frac{1}{3} ( \cos{(\frac{3\pi}{2})} -\cos{(0)} )\bigr\}  

 =\frac{1}{4} \bigl\{ -3(0-1)+\frac{1}{3} ( 0 - 1 )\bigr\}  

 =\frac{1}{4}\bigl\{ 3-\frac{1}{3} \bigr\}  

 =\frac{1}{4}\bigl\{ \frac{9}{3}-\frac{1}{3} \bigr\}  

 =\frac{1}{4}\cdot\frac{8}{3}  

 =\frac{2}{3}.

 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\sin}^{3}(x) dx sinを1つ浮かせる方針で計算してみます.

 =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\sin}^{1}(x)\cdot{\sin}^{2}(x) dx

 =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\sin}^{1}(x)\cdot\bigl\{1-{\cos}^{2}(x)\bigr\} dx

 =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{(x)} - \sin{(x)}{\cos}^{2}{(x)} dx

  = \bigl[ -\cos{(x)} + \frac{1}{3}{\cos^{3}{(x)}} \bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

  =  - ( { \cos{(\frac{\pi}{2})} - \cos{(0)} } ) + \frac{1}{3}({ \cos^{3}{(\frac{\pi}{2})} - \cos^{3}{(0)} })

  =  - (0-1) + \frac{1}{3}(0-1)

  =  - (-1) + \frac{1}{3}(-1)

 =  1 - \frac{1}{3}

 = \frac{2}{3}.

 

次に、ウォリス積分公式を用いて計算してみます.

1. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\cos}^{2}(x) dx

 = \frac{1!!}{2!!} \cdot \frac{\pi}{2}

 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}

 = \frac{\pi}{4}.

2. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\sin}^{3}(x) dx

 = \frac{2!!}{3!!} \cdot 1

 = \frac{2}{3\cdot1} \cdot 1

 = \frac{2}{3}.

 

いかがだったでしょうか. 恐らく,ちょっとだけウォリス積分公式を用いて計算したほうが楽だったのではないでしょうか.

ここでは,簡単な指数が2と3の場合についてしか扱っていませんが,nが4、5,6、・・・と大きくなっていくにつれて、ウォリス積分公式を用いて計算した方が早く,効率的に計算できる事が分かると思います.

 

という訳で,ウォリス積分公式はキチンと結果を覚えておいて、実際の定積分計算の際に使えるようにしておくとよいでしょう.

 注意点は,nが偶数か,奇数かで表式が異なるのでキチンと区別して覚えましょう.

また,正弦関数か余弦関数の累乗の定積分なのですが,積分区間が0から2分のπであることに注意しておきましょう.

 

以上。

TeXのお勉強②~①で学んだ事を使ってみる~

 複雑な数式を書いてみる

1.\int_{{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}}}}} frac{1}{log{log{log{x}}}} dx

2.\mathrm{e}

3.\int_{1}^{e} {\frac{1}{x}} dx

4.\int_{e}^{e^e} {\frac{1}{x{\log{x}}}} dx

5.\int_{e^e}^{e^{e^e}} {\frac{1}{x {\log{(x)}} {\log{(\log{x})}}}} dx

6.\int_{e^{e^e}}^{e^{e^{e^e}}} {\frac{1}{x {\log{(x)} {\log{(\log{(x)})}}}} dx

7.\int_{e^{e^e}}^{e^{e^{e^e}}} { \frac{1}{ x {\log{(x)}} {\log{(\log{(x)})}}}{\log{(\log{(\log{(x)})})}}dx

8.\int_{e^{e^e}}^{e^{e^{e^{e}}}}{\frac{1}{{x}{\log{(x)}}{\log{(\log{(x)})}}{\log{(\log{(\log{(x)})})}}}} dx

 

 

 

9.\int_{e^{e^e}}^{e^{e^{e^{e}}}}{\frac{1}{{x}{\log{(x)}}{\log{(\log{(x)})}}{\log{(\log{(\log{(x)})})}}}} dx =  {\bigl[} \log{(\log{(\log{(\log{(x)})})})} {\bigr]}_{e^{e^e}}^{e^{e^{e^e}}} =  \log{(\log{(\log{(\log{({e^{e^{e^e}}})})})})} - \log{(\log{(\log{(\log{({e^{e^e}})})})})}

= \log{(\log{(\log{(\log{({e^{(e^{e^e})}})})})})} - \log{(\log{(\log{(\log{({e^{(e^e)}})})})})}]

= \log{(\log{(\log{(\log{(x)})})})}

 

= \log{(\log{(\log{(\log{({e^{e^{e^e}}})})})})}

 

 

 

= \log{(\log{(\log{(\log{({e^{(e^{e^e})}})})})})}

 

= \log{(\log{(\log{({(e^{e^e})} \log{({e})})})})}

 

= \log{(\log{(\log{({(e^{e^e})} \cdot 1 )})})}

 

= \log{(\log{(\log{({(e^{e^e})})})})}

 

= \log{(\log{(\log{({(e^{(e^e)})})})})}

 

= \log{(\log{((e^e)\log{({(e)})})})}

 

= \log{(\log{((e^e)\cdot 1)})}

 

= \log{(\log{({e^e})})}

 

= \log{(e\log{({e})})}

 

= \log{(e\cdot1)}

 

= \log{(e)}

 

= 1

 

 

 

 

= \log{(\log{(\log{(\log{({e^{e^{e}}})})})})}

 

 

= \log{(\log{(\log{(\log{({e^{(e^{e})}})})})})}

 

= \log{(\log{(\log{({(e^{e})} \log{({e})})})})}

 

= \log{(\log{(\log{({(e^{e})} \cdot 1 )})})}

 

= \log{(\log{(\log{({(e^{e})})})})}

 

= \log{(\log{(\log{({(e^{(e)})})})})}

 

= \log{(\log{(e\log{({(e)})})})}

 

= \log{(\log{(e\cdot 1)})}

 

= \log{(\log{({e})})}

 

= \log{(1)}

 

= 0

 

10.

\int_{e^{e^e}}^{e^{e^{e^{e}}}}{\frac{1}{{x}{\log{(x)}}{\log{(\log{(x)})}}{\log{(\log{(\log{(x)})})}}}} dx

 

={\bigl[} \log{(\log{(\log{(\log{(x)})})})} {\bigr]}_{e^{e^e}}^{e^{e^{e^e}}}

 

=\log{(\log{(\log{(\log{({e^{e^{e^e}}})})})})} - \log{(\log{(\log{(\log{({e^{e^e}})})})})}

 

= \log{(\log{(\log{(\log{({e^{e^{e^e}}})})})})} - \log{(\log{(\log{(\log{({e^{e^{e}}})})})})}

 

= \log{(\log{(\log{(\log{({e^{(e^{e^e})}})})})})} - \log{(\log{(\log{(\log{({e^{(e^{e})}})})})})}

 

= \log{(\log{(\log{({(e^{e^e})} \log{({e})})})})} - \log{(\log{(\log{({(e^{e})} \log{({e})})})})}

 

= \log{(\log{(\log{({(e^{e^e})} \cdot 1 )})})} - \log{(\log{(\log{({(e^{e})} \cdot 1 )})})}

 

= \log{(\log{(\log{({(e^{e^e})})})})} - \log{(\log{(\log{({(e^{e})})})})}

 

= \log{(\log{(\log{({(e^{(e^e)})})})})} - \log{(\log{(\log{({(e^{(e)})})})})}

 

= \log{(\log{((e^e)\log{({(e)})})})} - \log{(\log{(e\log{({(e)})})})}

 

= \log{(\log{((e^e)\cdot 1)})} - \log{(\log{(e\cdot 1)})}

 

= \log{(\log{({e^e})})} - \log{(\log{e})}

 

= \log{(e\log{({e})})} - \log{(1)}

 

= \log{(e\cdot1)} - 0

 

= \log{e}

 

= \log_{e}{e}

 

= 1

 

 

\int_{e^{e^e}}^{e^{e^{e^{e}}}}{\frac{1}{{x}{\log{(x)}}{\log{(\log{(x)})}}{\log{(\log{(\log{(x)})})}}}} dx

 

 =\int_{e^{e^e}}^{e^{e^{e^{e}}}} {{\bigl\{} \log{(\log{(\log{(\log{(x)})})})} {\bigr\}} }' dx

={\bigl[} \log{(\log{(\log{(\log{(x)})})})} {\bigr]}_{e^{e^e}}^{e^{e^{e^e}}}

=\log{(\log{(\log{(\log{({e^{e^{e^e}}})})})})} - \log{(\log{(\log{(\log{({e^{e^e}})})})})}

= \log{(\log{(\log{(\log{({e^{e^{e^e}}})})})})} - \log{(\log{(\log{(\log{({e^{e^{e}}})})})})}

= \log{(\log{(\log{(\log{({e^{(e^{e^e})}})})})})} - \log{(\log{(\log{(\log{({e^{(e^{e})}})})})})}

= \log{(\log{(\log{({(e^{e^e})} \log{({e})})})})} - \log{(\log{(\log{({(e^{e})} \log{({e})})})})}

= \log{(\log{(\log{({(e^{e^e})} \cdot 1 )})})} - \log{(\log{(\log{({(e^{e})} \cdot 1 )})})}

= \log{(\log{(\log{({(e^{e^e})})})})} - \log{(\log{(\log{({(e^{e})})})})}

= \log{(\log{(\log{({(e^{(e^e)})})})})} - \log{(\log{(\log{({(e^{(e)})})})})}

= \log{(\log{((e^e)\log{({(e)})})})} - \log{(\log{(e\log{({(e)})})})}

= \log{(\log{((e^e)\cdot 1)})} - \log{(\log{(e\cdot 1)})}

= \log{(\log{({e^e})})} - \log{(\log{e})}

= \log{(e\log{({e})})} - \log{(1)}

= \log{(e\cdot1)} - 0

= \log{e} 

= \log_{e}{e}

= 1